素数生成式

2017/10/07

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オイラーの発見した式、f(n) = n2 + n + 41 は、n = 0, …, 39 において全て素数となる。これは、虚二次体 mathbb{Q}(sqrt{-163}) の類数が 1 であることと関係している[13]

多変数の高次多項式では、全ての素数を生成することができる式がいくつか知られている。例えば、k + 2 が素数となる必要十分条件は、次のディオファントス方程式が自然数解を持つことである[14]:

wz + h + j − q = 0
(gk + 2g + k + 1)(h + j) + hz = 0
(16k + 1)3(k + 2)(n + 1)2 + 1 − f2 = 0
2n + p + q + ze = 0
e3(e + 2)(a + 1)2 + 1 − o2 = 0
(a2 − 1)y2 + 1 − x2 = 0
16r2y4(a2 − 1) + 1 − u2 = 0
n + l + vy = 0
(a2 − 1)l2 + 1 − m2 = 0
ai + k + 1 − li = 0
[{a + u2(u2a)}2 − 1](n + 4dy)2 + 1 − (x + cu)2 = 0
p + l(an − 1) + b(2an + 2an2 − 2n − 2) − m = 0
q + y(ap − 1) + s(2ap + 2pp2 − 2p − 2) − x = 0
z + pl(ap) + t(2app2 − 1) − pm = 0

誤解されやすいが、ユークリッドによる、素数が無数に存在することの証明で使われる手順(こちらを参照)からは、必ずしも素数を得ることができない。なぜなら最初の仮定「最大の素数 pn が存在すると仮定する」が正しくないからである。実際に、n = 6 で

2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509

と、p17 = 59 で割り切れてしまう(最小の反例)。

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